庞加莱复现定理

對於任何一個由常微分方程式定義的動態系統，都有相應的流映射 f ^t，而對每個固定的 t（可當成時間）, f ^t 皆是由該系統的相空間射去相空間本身的映射。若相空間中，每個可以計算體積（稱為相體積）的子集，都在流中保持體積，則稱該系統保體積。例如，根據劉維爾定理，所有哈密頓系統皆保體積。

有了上述的背景之後，可以將定理敍述如下：若流保體積，且其所有轨道皆有界，則對於相空間中每個開集，都有軌道與之相交無窮多次。

定性理解，證明的關鍵在於兩個前提：

1. 可達（accessible）的相空間總體積具有有限的上界。對於力學系統，可要求其受限於某個有界的「實際」空間（於是，該系統不得將粒子射出至極遠處而從不返回）。如此，再加上能量守恆，就足以證明系統受限於相空間的某個有限區域。
2. 動態變化當中，有限元的相體積守恆。（對於力學系統，此條件由劉維爾定理保證。）

取相空間中任意一塊體積有限的起始區域，其按照系統的動態而移動，「掃過」相空間的一部分點。由於該區域的體積在過程中保持不變，其掃過的總體積（稱為相管，phase tube）理應隨時間線性增加（至少在起始不久後如此）。然而，由於可達的相空間總體積有限，相管的體積會達到某個飽和值，而不能一直增加，否則終會大於可達的總相體積。這正說明，相管必與自身相交。倘若要與自身相交，則必須先經過起始的區域。所以，起始體積中至少有體積非零的一部分復現（recur)。

此時，考慮起始區域中永不返回的部分。按上段的論證，若該部分的體積非零，則其必有體積非零的部分復現，但若永不返回的部分中，有一部分復現，則後者亦必返回到原始區域內，造成矛盾。 所以，起始區域中永不返回的部分體積只能為零，即與起始區域相比是極小。

注意定理（並其證明）並不保證復現的若干性質：

• 仍然可能有若干個特別的始態永不返回起始區域，或是僅返回有限多次後便不再返回。然而，此種情況極為罕見，與起始區域相比僅是無窮小的部分。
• 起始區域的各部分不必同一時間復現。相管首次通過自身時，可能有一部分體積會錯過起始區域，從而該部分會較遲復現。
• 相管確實可能先窮竭可達相空間的全部體積，然後才返回到起始區域。一個簡單例子是諧振子。能夠歷遍整個可達相空間的體積的系統稱為滿足遍歷假設（但此取決於「可達體積」的定義）。
• 可保證的是，從幾乎所有始態出發，系統都終將返回到某個與始態任意接近的態。復現時間取決於所要求的「近」的程度，即初始區域的相體積。若要得出更精確的復現，則須取較小的初始區域，所以所需的復現時間更長。
• 給定某個區域和其中某個相，其復現的時刻不必具周期性。第二次復現的時間不必是首次復現時間的兩倍。

設

${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$

為總測度有限的測度空間，並設

${\displaystyle f\colon X\to X}$

為保測函數，即其可測，且對任意的可測子集 ${\displaystyle A\in \Sigma }$ 有 ${\displaystyle \mu (T^{-1}A)=\mu (A).}$ 以下為定理的兩種敍述：

對任意可測子集 ${\displaystyle E\in \Sigma ,}$ ${\displaystyle E}$ 中滿足：存在正整數 ${\displaystyle N}$ ，使得對任意 ${\displaystyle n>N}$ 都有 ${\displaystyle f^{n}(x)\notin E}$ 的點 ${\displaystyle x}$ 的集合的測度為零。

換言之，${\displaystyle E}$ 中幾乎所有點皆會返回到 ${\displaystyle E,}$ 且會返回無窮多次，即

${\displaystyle \mu \left(\{x\in E:\exists N{\text{ s.t. }}f^{n}(x)\notin E\ \forall n>N\}\right)=0.}$

證明見於所引參考資料。

以下為定理的拓撲版本：

若 ${\displaystyle X}$ 為第二可數的豪斯多夫空間，而 ${\displaystyle \Sigma }$ 包含其博雷爾σ-代數，則 ${\displaystyle f}$ 的復現點集的測度等於 ${\displaystyle X}$ 的全測度，即幾乎所有點皆復現。

證明同樣見於所引參考資料。

更一般地，定理適用於守恆系統，而不僅是保測動態系統。

對於非時變的量子力學系統，若其能量特徵態離散，則有類似的定理成立。對於任意的 ${\displaystyle \varepsilon >0}$ 和 ${\displaystyle T_{0}>0,}$ 皆存在時間 T 大於 ${\displaystyle T_{0},}$ 使得 ${\displaystyle ||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |<\varepsilon ,}$ 其中 ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ 表示系統於時間 t 的態向量。

證明的關鍵如下。系統的狀態按下式隨時間變化：

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\exp(-iE_{n}t)|\phi _{n}\rangle ,}$

其中 ${\displaystyle E_{n}}$ 為能量特徵值（此處使用自然單位，故約化普朗克常數 ${\displaystyle \hbar =1}$），而 ${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$ 為相應的能量特徵態。時間 ${\displaystyle T}$ 和時間 ${\displaystyle 0}$ 的態向量的距離平方為

${\displaystyle \left||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle \right|^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}.}$

可於某項 n = N 截尾，而 N 不取決於 T, 因為

${\displaystyle \sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}\leq 2\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2},}$

而又有 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}=1}$ 收斂（此為始態的範數平方），故上式中 ${\displaystyle N}$ 取很大時，能使上式的值任意小。

而有限和

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}}$

按以下的構造，也能藉着揀選特定的時刻 T, 而使之任意小。取任意的 ${\displaystyle \delta >0,}$ 然後取 T, 使得對於 ${\displaystyle 0\leq n\leq N,}$ 都總存在整數 ${\displaystyle k_{n}}$ 滿足

${\displaystyle |E_{n}T-2\pi k_{n}|<\delta .}$

對此 T, 有

${\displaystyle 1-\cos(E_{n}T)<{\frac {\delta ^{2}}{2}}.}$

於是，

${\displaystyle 2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2},}$

亦即態向量 ${\displaystyle |\psi (T)\rangle }$ 會回到與始態 ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ 任意接近之處。

• 遍歷假設
• 復現圖
• 復現周期密度熵
• 遊蕩集
• 波茲曼大腦

• Page, Don N. . November 25, 1994. arXiv:hep-th/9411193.

• Padilla, Tony. . Numberphile. Brady Haran. . （原始内容存档于2013-11-27）.
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