椭圆曲线

曲线y² = x³ − x和y² = x³ − x + 1的图像

尽管椭圆曲线的正式定义需要一定的代数几何背景，在实数上的椭圆曲线的一些特征可以使用入门级别的代数与几何来描绘。

在这种情况下，椭圆曲线是由下列方程定义的平面曲线：

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$

其中a和b为实数。这类方程被称为魏尔斯特拉斯方程。

椭圆曲线的定义也要求曲线是非奇异的。几何上来说，这意味着图像里面没有尖点、自相交或孤立点。代数上来说，这成立当且仅当判别式

${\displaystyle \Delta =-16(4a^{3}+27b^{2})}$

不等于0。（尽管这里的因子−16与曲线是否是非奇异的无关，这样定义判别式在对椭圆曲线进行更深入的研究时有用。）

非奇异椭圆曲线的(实)图像在判别式为正的时候有两个连通分量，在判别式为负时则有一个连通分量。例如，在本小节的图像中，第一个曲线的判别式为64，而第二个曲线的判别式为−368。

定義無窮遠點0為橢圓曲線E上的一點。定義 + 運算子：取E上的兩點P,Q，若兩者相異，P + Q表示穿過P和Q的弦和橢圓曲線相交的第三點，再經x軸反射的鏡像點；若兩者是同一點，P+P=2P表示以P為切點和橢圓曲線相交的點再經x軸反射的鏡像點。若P和Q的弦與y軸平行，P+Q=0（無限遠點）。+定義了一個E上的交換群，這個群以0為單位元。

特別地，所有有理點組成了E的子群。

上面的群可以用代數方式定義。給定域${\displaystyle K}$（其中${\displaystyle K}$的特徵值非2或者3）上的曲線${\displaystyle E:y^{2}=x^{3}-px-q\,}$，及非無窮遠點${\displaystyle P(x_{P},y_{P}),Q(x_{Q},y_{Q})\in E}$。先假設${\displaystyle x_{P}\neq x_{Q}}$，設${\displaystyle s={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}}$（因${\displaystyle K}$是域，${\displaystyle s}$有定義）。定義${\displaystyle R=P+Q\,}$。

因为${\displaystyle P,Q,R}$共线，令该直线${\displaystyle F}$的方程为${\displaystyle y=sx+d\,}$。直线${\displaystyle F}$与曲线${\displaystyle E}$相交，有：

${\displaystyle (sx+d)^{2}=x^{3}-px-q\,\Rightarrow 0=x^{3}-s^{2}x^{2}-2xd-px-q-d^{2}}$

${\displaystyle P,Q,R}$是两线的交点，即方程的解。有：

${\displaystyle 0=(x-x_{P})(x-x_{Q})(x-x_{R})=x^{3}+x^{2}(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})+x(x_{P}x_{Q}+x_{P}x_{R}+x_{Q}x_{R})-x_{P}x_{Q}x_{R}}$

替换系数后可得：

${\displaystyle x_{R}=s^{2}-x_{P}-x_{Q}\,}$

${\displaystyle y_{R}=-y_{P}+s(x_{P}-x_{R})\,}$

若${\displaystyle x_{P}=x_{Q}\,}$：

• 若${\displaystyle y_{P}=-y_{Q}\,}$，${\displaystyle P+Q=0\,}$。
• 若${\displaystyle y_{P}=y_{Q}\,}$，${\displaystyle R=2P\,}$，其值為：

${\displaystyle s={\frac {3{x_{P}}^{2}-p}{2y_{P}}}\,}$

${\displaystyle x_{R}=s^{2}-2x_{P}\,}$

${\displaystyle y_{R}=-y_{P}+s(x_{P}-x_{R})\,}$

椭圆曲线可以被定义在任意域 K上；椭圆曲线的正式定义是K上的亏格为1的非奇异射影代数曲线，并具有一个定义在K特殊的点。

如果K的特征不等于2或3，那么K上每个椭圆曲线都能写成如下形式

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-px-q}$

其中p和q为K中的元素，使得右手边的多项式x³ − px − q没有二重根。如果特征等于2或3，那么需要保留更多项：在特征为3的情况下，最一般的方程具有如下形式

${\displaystyle y^{2}=4x^{3}+b_{2}x^{2}+2b_{4}x+b_{6}}$

这里常数b₂, b₄, b₆可以任取，但需满足使得右手边的多项式无重根（写成这个形式有历史原因）。在特征为2的情况下，即使是这种形式也不够，其最一般的方程为

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$

需满足所定义的簇是非奇异的。

• 黑森曲线
• 爱德华曲线
• 扭曲线
• 扭黑森曲线
• 扭爱德华曲线
• 雅可比曲线

• 椭圆曲线密码学

• I. Blake; G. Seroussi, N. Smart, N.J. Hitchin. . Cambridge Univ. Press. 2000. ISBN 978-0-521-65374-9. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
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• The Mathematical Atlas: 14H52 Elliptic Curves
• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.